向量叉乘是向量运算中的一种重要方式，它可以获得垂直于两个向量所在平面的向量。而向量叉乘的模长平方则是另一个重要的量，它可以告诉我们两个向量所在平面的面积。

假设有两个三维向量a和b，它们的叉积为向量c。那么向量c的模长平方可以表示为：

||c||^2 = (a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2

其中，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别代表向量a和向量b的三个分量。这个公式看起来比较复杂，但是我们可以通过简单的步骤来推导出它。

首先，我们可以将向量a和向量b表示成三个分量的形式：

a = (a1, a2, a3)

b = (b1, b2, b3)

然后，我们可以计算向量a和向量b的叉积：

c = a × b

c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

接着，我们求出向量c的模长：

||c|| = sqrt((a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2)

最后，我们将向量c的模长的平方计算出来：

||c||^2 = (a2b3 - a3b2)^2 + (a3b1 - a1b3)^2 + (a1b2 - a2b1)^2

通过这个公式，我们可以快速地计算出两个向量所在平面的面积。同时，我们也可以根据向量叉积的定义，将其应用到各种实际问题中，例如计算力矩和旋转等。

总之，向量叉乘的模长平方是向量运算中的一个重要量，它可以帮助我们理解向量之间的关系，并且在实际问题中有着广泛的应用。