转动惯量是物体对于旋转的惯性大小的度量，它的大小与物体的形状、质量分布以及旋转轴的位置有关。在物理学中，转动惯量通常用$I$表示，其单位是千克·米^2。本文将通过推导转动惯量公式，来深入理解这一概念。

假设一个质量为$m$的点物体绕着一个距离为$r$的固定轴旋转，由于它是一个点物体，所以可以将它看作一个质点。根据牛顿第二定律，质点绕轴的角加速度$\alpha$与作用在它上面的合外力$F$之间有如下关系：

$$F = m \alpha r$$

这个式子可以进一步转化为：

$$F r = m r^2 \alpha$$

其中，$m r^2$称为质点的“转动惯量”，用$I_p$表示。对于一个复杂的物体，它可能有多个质点组成，每个质点都有自己的质量和旋转轴。因此，它的转动惯量也是由各个质点的转动惯量组成的。

考虑一个物体绕着一个固定轴旋转，其质量分布在距离旋转轴的距离为$r$的圆柱体内。如图所示：


可以将圆柱体分成无数个薄片，每个薄片的质量为$\mathrmm$，距离旋转轴的距离为$r$，宽度为$\mathrmr$，厚度为$h$。根据定义，每个薄片的转动惯量为：

$$\mathrmI_p = r^2 \mathrmm$$

整个圆柱体的转动惯量$I$就是所有薄片的转动惯量之和。将$\mathrmm$替换为密度$\rho$乘以薄片体积$\mathrmV=\pi r^2 h \mathrmr$，得到：

$$I=\int_0^R r^2 \mathrmm = \int_0^R r^2 \rho \pi r^2 h \mathrmr = \pi \rho h \int_0^R r^4 \mathrmr = \frac \pi \rho h R^4$$

其中，$R$是圆柱体的半径。这就是圆柱体绕固定轴旋转的转动惯量公式。

类似地，对于其他形状的物体，我们也可以通过分割成无数个小块，然后计算每个小块的转动惯量，最后将它们加起来得到整个物体的转动惯量。这种方法称为“积分法”，也是计算转动惯量的通用方法。

总结一下，转动惯量是描述物体对旋转惯性大小的一个量。对于简单的物体，我们可以通过公式直接计算转动惯量；对于复杂的物体，我们可以通过将其分割成小块，然后计算每个小块的转动惯量，最后将它们加起来得到物体的总转动惯量。