效用函数是描述人们对不同选择的偏好的数学函数。效用函数的公式可以帮助我们理解人们选择某种行为或物品的原因。在本文中，我们将讨论效用函数的公式推导过程。

首先，我们需要了解效用函数的定义。效用函数是一个将选择集合映射到实数集合的函数。对于任何给定的选择集合，效用函数将为每个选择分配一个数值，该数值表示该选择的效用或价值。我们可以使用效用函数来比较不同选择之间的效用大小，以帮助人们做出最佳选择。

接下来，我们将介绍效用函数的公式推导过程。假设我们有一个由n个选择组成的选择集合，我们可以用u(x)来表示选择x的效用。我们可以将这些效用值表示为一个向量，u = (u1, u2, ..., un)。因此，我们可以将效用函数表示为：

u(x) = u_i

其中i表示选择x在向量u中的索引。

接着，我们需要考虑两个假设：首先，我们认为人们的偏好具有可比性，即人们可以比较不同选择之间的效用大小；其次，我们认为人们的偏好具有传递性，即如果人们更喜欢选择A而不是B，同时更喜欢选择B而不是C，则人们更喜欢选择A而不是C。

基于这些假设，我们可以推导出效用函数的公式。假设我们有两个选择A和B，其效用分别为u(A)和u(B)。我们可以使用比例来比较它们的效用大小，即u(A) : u(B)。如果我们认为A比B更好，那么u(A) : u(B) > 1，反之则u(A) : u(B) < 1。我们可以使用比例的自然对数来表示这个关系：

ln(u(A) : u(B)) = ln(u(A)) - ln(u(B))

我们可以将ln(u(A) : u(B))表示为效用差异的函数，即：

ln(u(A) : u(B)) = u(A) - u(B)

这个函数被称为效用函数的对数形式。在这个公式中，我们可以看到，如果选择A的效用大于选择B的效用，那么该函数的值为正，反之则为负。

最后，我们可以使用效用函数的对数形式来推导出效用函数的一般形式。假设我们有n个选择，我们可以通过比较两两选择之间的效用大小来确定它们的顺序。我们可以使用比例的自然对数来比较它们的效用大小，即：

ln(u(x) : u(y)) = u(x) - u(y)

我们可以将这个公式推广到所有n个选择中，即：

ln(u(x) : u(y)) = u(x) - u(y) = Σi=1 to n wi(x) * ui - Σi=1 to n wi(y) * ui

其中，wi(x)表示选择x在向量u中的权重，ui表示向量u中第i个元素的效用值。

综上所述，我们可以通过比较选择之间的效用大小来推导出效用函数的公式。这个公式可以帮助我们理解人们做出选择的原因，并帮助我们做出最佳选择。