重心、垂心和外心是三角形中的重要点，它们有着特殊的性质和应用。在研究三角形的性质时，往往需要用到这些点的向量表示。

首先，我们来介绍一下重心、垂心和外心的定义。在三角形ABC中，重心G是三条中线的交点，垂心H是三条高线的交点，外心O是三条垂直平分线的交点。这三个点的向量表示如下：

重心G的向量表示为：$\vec=\frac(\vec+\vec+\vec)$。

垂心H的向量表示为：$\vec=\vec+\vec+\vec$。

外心O的向量表示为：$\vec+\vec+\vec=2\vec$，其中$O_1$为三角形ABC的外接圆圆心。

接下来，我们来研究一下这三个点之间的向量关系。根据向量的加减法和数乘法，我们可以得到以下结论：

（1）重心、垂心和外心三点共线。

证明：由于重心G是中线的交点，所以$\vec=\frac(\vec+\vec+\vec)$。又因为垂心H是高线的交点，所以$\vec=\vec+\vec+\vec$。将上述两个式子相加，可以得到$\vec+\vec=\frac(\vec+\vec+\vec)$。同理，将外心O的向量表示代入上式，可以得到$\vec+\vec+\vec=0$，即重心、垂心和外心三点共线。

（2）重心到垂心的向量等于外心到重心的向量的一半。

证明：由于$\vec=-\vec-\vec$，代入$\vec+\vec+\vec=0$，可以得到$\vec=-\frac\vec$。又因为$\vec$和$\vec$的方向相反，所以$\vec=\frac\vec-\vec$。因此，重心到垂心的向量等于外心到重心的向量的一半。

最后，我们来说明一下这些结论的应用。在三角形的相关问题中，我们经常需要利用重心、垂心和外心的性质来求解。例如，可以利用重心的性质来确定三角形的重心位置，利用垂心的性质来确定三角形的高线方程，利用外心的性质来确定三角形的外接圆方程等等。

总之，重心、垂心和外心是三角形中的三个重要点，它们有着特殊的性质和应用。通过向量的表示和运算，可以更加深入地理解它们之间的关系，并且在实际问题中应用它们的性质来求解。