对数函数是数学中重要的一类函数，其导数具有特殊的性质。下面我们来详细探讨一下对数函数的导数是什么。

首先，我们需要了解什么是对数函数。对数函数是指以某一固定正数为底数，对另一个正数取对数所得到的函数。例如，以10为底数，对100取对数，得到的结果是2，即$log_100=2$。对数函数的图像呈现出一条上升的曲线，且经过原点。

接下来，我们来研究对数函数的导数。对数函数的导数可以使用导数定义来推导。首先，我们先来回顾一下导数的定义：

$$f'(x)=\lim_\frac$$

对于对数函数$f(x)=\log_a(x)$，其导数可以表示为：

$$\begin f'(x) &= \lim_\frac \\ &= \lim_\frac} \\ &= \lim_\frac\log_a(1+\frac) \end$$

接下来，我们将使用极限的性质来简化上式：

$$\begin f'(x) &= \lim_\frac\log_a(1+\frac) \\ &= \lim_\log_a(1+\frac)^{\frac} \\ &= \log_a\lim_(1+\frac)^{\frac\cdot\frac} \\ &= \log_a e = \frac \end$$

因此，我们可以得出结论：对数函数的导数是$\frac$。

需要注意的是，对数函数的底数$a$必须是正实数且不等于1，否则函数的定义域不成立。

总之，对数函数的导数是$\frac$，这个结论在数学中具有重要的应用价值。