对称矩阵是指矩阵的主对角线两侧的元素相等，即 $A_=A_$。对称矩阵在数学和物理学中都有广泛的应用，如线性代数、概率论、力学等领域。在这篇文章中，我们将讨论如何计算对称矩阵的行列式。

首先，我们需要明确一个定理：对称矩阵的行列式等于其特征值的乘积。这个定理可以通过矩阵的特征分解来证明。特征分解是将矩阵分解为特征向量和特征值的乘积的形式。对于对称矩阵，它的特征向量可以正交化，使得它们构成一组标准正交基。因此，我们可以将对称矩阵表示为特征向量的线性组合，即 $A=Q\Lambda Q^$，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\Lambda$ 是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵的特征值。因此，矩阵的行列式可以表示为 $det(A)=det(Q)\cdot det(\Lambda)\cdot det(Q^)=det(\Lambda)$。因为正交矩阵的行列式等于 $\pm 1$，所以 $det(Q)=\pm 1$。这样，我们就证明了定理的正确性。

现在，我们可以通过计算对称矩阵的特征值来得到它的行列式。特征值可以通过求解矩阵的特征方程来得到。对于一个 $n \times n$ 的对称矩阵 $A$，它的特征方程是 $det(A-\lambda I)=0$，其中 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，$\lambda$ 是特征值。解特征方程可以得到 $n$ 个特征值，记为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$。然后，对称矩阵的行列式可以表示为 $det(A)=\prod\limits_^n \lambda_i$。

需要注意的是，对于一个实对称矩阵，它的特征值一定是实数。这是由于实对称矩阵的特征多项式是实系数多项式，而实系数多项式的根要么是实数，要么是成对出现的共轭复数。因此，对于一个实对称矩阵，它的特征值一定是实数。

总结一下，对称矩阵的行列式可以通过计算矩阵的特征值得到。对称矩阵的特征值一定是实数，因此行列式也是实数。这个定理的证明依赖于对称矩阵的特征分解，它可以用来证明很多关于对称矩阵的性质。