三角形是初中数学学习中的一个重要内容，而三角形中的重心、外心、垂心也是三角形的重要概念。这些概念在三角形的性质和应用中起着重要的作用。在本文中，我们将重点介绍三角形重心、外心、垂心的坐标公式。

首先，我们需要了解什么是三角形重心、外心、垂心。三角形的重心是由三条中线交汇处，称为三角形重心。三角形的外心是由三条垂直平分线交汇处，称为三角形外心。三角形的垂心是由三条高交汇处，称为三角形垂心。

三角形的重心、外心、垂心坐标公式的推导需要使用向量的知识，这里我们简单介绍一下三角形向量的一些基本概念。三角形的三个顶点坐标分别为$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，向量$\vec$的起点坐标是$(x_1,y_1)$，终点坐标是$(x_2,y_2)$，向量$\vec$的起点坐标是$(x_1,y_1)$，终点坐标是$(x_3,y_3)$，向量$\vec$的起点坐标是$(x_2,y_2)$，终点坐标是$(x_3,y_3)$。

三角形的重心坐标公式是$(\frac,\frac)$，即三角形三个顶点坐标的平均值。这个公式的推导可以使用向量的知识，具体如下：

向量$\vec=\vec$，向量$\vec=\vec$，向量$\vec=\vec$，则三角形重心$\vec$的坐标为：

$$\vec=\frac{\vec+\vec+\vec}$$

即：

$$\vec=\frac[(x_2-x_1,y_2-y_1)+(x_3-x_1,y_3-y_1)+(x_3-x_2,y_3-y_2)]$$

化简后得到：

$$\vec=(\frac,\frac)$$

三角形的外心坐标公式是$(\frac,\frac)$，其中$D$为三角形三个顶点到外心的距离之和，$R$为三角形外接圆半径。这个公式的推导可以使用向量的知识和勾股定理，具体如下：

向量$\vec=\vec$，向量$\vec=\vec$，向量$\vec=\vec$，则三角形外心$\vec$的坐标为：

$$\vec=\vec+\frac\times\vec}\cdot(\vec+\vec)}$$

其中$\times$表示向量的叉乘，$\cdot$表示向量的点乘。 $\vec\times\vec$是向量$\vec$和向量$\vec$的叉积，其大小等于以$\vec$和$\vec$为邻边所构成的平行四边形的面积。

三角形外接圆半径$R$等于$\frac$，其中$S$表示三角形的面积。

三角形三个顶点到外心的距离分别为$R$，$R$，$R$，因此$D=3R$，带入公式可得：

$$\vec=\vec+\frac\times\vec}\cdot(\vec+\vec)}$$

化简后得到：

$$\vec=(\frac,\frac)$$

其中$D_x$和$D_y$分别为向量$\vec$和向量$\vec$的叉积的分量。

三角形的垂心坐标公式是$(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)$减去三角形重心的坐标，即：

$$(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)-(\frac,\frac)$$

化简后得到：

$$(\frac,\frac)$$

通过以上的推导，我们得到了三角形重心、外心、垂心的坐标公式，这些公式在三角形的计算和应用中起着重要的作用。