1-x^2开根号的原函数，可以表示为∫(1-x^2)^1/2 dx。其中，∫表示积分符号，(1-x^2)^1/2表示方根函数。

这个函数的积分是一个比较特殊的情况，因为它不能直接用常规的积分公式来求解。但是我们可以通过一些巧妙的方法来求解它。

首先，我们可以将(1-x^2)^1/2展开成一个幂级数。这个幂级数的形式为∑(n=0)∞(1/2)_n*(x^2)^n/n!，其中(1/2)_n表示半整数，即(1/2)_n=1/2*(3/2)*(5/2)*...*(2n-1/2)，n!表示阶乘，即n!=1*2*3*...*n。

接着，我们可以利用幂级数的性质，将原函数表示成一个无穷级数的形式。具体来说，就是将原函数的积分变为∫∑(n=0)∞(1/2)_n*(x^2)^n/n! dx，然后将积分和无穷级数交换顺序，得到∑(n=0)∞(1/2)_n*∫(x^2)^n/n! dx。

接下来，我们就可以分别求解每一项的积分了。因为(x^2)^n/n!的积分是比较容易求解的，所以我们可以得到∫(x^2)^n/n! dx=x^(2n+1)/(2n+1)!。

将这个结果代入到原来的无穷级数中，我们就得到了原函数的解析式，即∑(n=0)∞(1/2)_n*x^(2n+1)/(2n+1)!。

通过这种方法，我们就成功地求解了1-x^2开根号的原函数。虽然这个方法比较复杂，但是它展示了数学中的一些重要思想，如幂级数展开和积分与无穷级数的交换顺序。