怎么判断行列式符号
来源 :华课网校 2024-09-17 18:00:07
中行列式是线性代数中的一个重要概念,它在许多数学领域中都有广泛的应用。在计算行列式时,需要判断它的符号。下面介绍几种判断行列式符号的方法。
1. 定义法
对于n阶行列式A,如果它的某个行(列)与另一行(列)交换位置后,行列式的值变号,则称A的行列式符号为负;否则为正。具体表述为:
$$\begin
a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\
a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_ & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_ & \cdots & a_
\end}$$
如果将第i行与第j行交换,则行列式的值变为$-A$。同理,如果将第i列与第j列交换,则行列式的值也会变为$-A$。
2. 公式法
行列式的符号可以通过计算它的奇偶排列来确定。对于n阶行列式A,将它的元素按照行标和列标的大小顺序排列,得到一个新的序列$(a_,a_,\cdots,a_)$。如果这个序列的逆序数为奇数,则行列式的符号为负;否则为正。其中,逆序数是指序列中后面的数比前面的数小的对数。
例如,对于下面的3阶行列式:
$$\begin
2 & -1 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
3 & 2 & 1
\end$$
按照元素的大小顺序排列,得到序列$(2,1,3,-1,0,2,3,2,1)$。这个序列的逆序数为7,因此行列式的符号为负。
3. 行变换法
对于n阶行列式A,可以通过一系列行变换将它化为上三角形矩阵,此时行列式的值等于对角线上的元素的乘积。如果进行了奇数次行变换,则行列式的符号为负;否则为正。
例如,对于下面的3阶行列式:
$$\begin
2 & -1 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
3 & 2 & 1
\end$$
进行一次行变换,将第1行加上第2行,得到:
$$\begin
2 & -1 & 3 \\
3 & -1 & 5 \\
3 & 2 & 1
\end$$
再进行一次行变换,将第3行减去第2行,得到:
$$\begin
2 & -1 & 3 \\
3 & -1 & 5 \\
0 & 3 & -4
\end$$
此时行列式已经化为上三角形矩阵,行列式的值等于对角线上的元素的乘积$(-4)\times(-1)\times2=8$。因为进行了偶数次行变换,所以行列式的符号为正。
综上所述,以上三种方法都可以用来判断行列式的符号。在实际计算中,可以根据具体情况选择最方便的方法。
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