三角形角平分线定理是初中数学中一个重要的定理，它指出如果一条直线将一个三角形的一个角平分成两个相等的角，那么这条直线将对这个角所对的边分成两个相等的线段。

现在我们来证明这个定理。首先，我们假设有一个三角形ABC，其中角A的度数为α，角平分线AD将角A分成两个度数相等的角α/2。同时，假设角A对应的边为BC，角平分线AD与BC相交于点E。

接着，我们需要证明DE/EB=AD/AB。为了证明这个等式，我们可以利用正弦定理。

首先，根据三角形ABD中的正弦定理，我们可以得到：

AD/sin(α/2) = AB/sin(β)

其中，β为角BAD的度数。由于角A被角平分线AD平分成两个相等的角α/2，因此角BAD的度数也为α/2。

因此，上式可以简化为：

AD/sin(α/2) = AB/sin(α/2)

接着，根据三角形AED中的正弦定理，我们可以得到：

DE/sin(β) = AE/sin(α/2)

由于角A被角平分线AD平分成两个相等的角α/2，因此角DAE的度数也为α/2。

因此，上式可以简化为：

DE/sin(α/2) = AE/sin(α/2)

接下来，我们可以将上述两个等式联立起来，得到：

AD/sin(α/2) = DE/sin(α/2)

因此，我们可以得到：

DE/AD = sin(α/2)/sin(α/2) = 1

又因为三角形ABC和三角形AED中有一组对应的角相等（角A），又有一组对应的角相等（角DAE和角CDE），因此这两个三角形是相似的。

因此，我们可以得到：

DE/AB = DE/AD * AD/AB = DE/AD * sin(β)/sin(α)

将前面所证明的DE/AD=1代入上式，我们可以得到：

DE/AB = sin(β)/sin(α)

因此，我们证明了DE/EB=AD/AB，即三角形角平分线定理成立。

综上所述，我们利用正弦定理成功地证明了三角形角平分线定理。这个定理在初中数学中非常重要，它不仅可以帮助我们解决一些三角形问题，同时也为我们后续的数学学习打下了坚实的基础。