根号下1+X^2的不定积分是非常重要的数学问题之一。在求解这个不定积分时，我们需要运用到一些常见的积分公式和技巧。

首先，我们可以使用代换法来求解这个不定积分。假设我们令u = 1 + X^2，那么我们可以将根号下1+X^2的积分变为根号下u的积分。接着，我们可以对根号下u的积分使用分部积分法，将其拆分为两个积分项，其中一个项可以使用常见的反三角函数公式来求解。

最终，我们得到的不定积分答案为arcsinh(X) + C，其中arcsinh(X)表示反双曲正弦函数，C表示积分常数。这个答案可以通过求导验证其正确性。

总之，根号下1+X^2的不定积分并不是一个难以解决的问题，只需要运用代换法和分部积分法等数学技巧，我们就能够得到正确的答案。