椭圆焦点弦长公式是描述椭圆形状的重要公式之一。这个公式告诉我们，当一条弦穿过椭圆的两个焦点时，其长度等于椭圆长轴长度的二分之一乘以焦点间的距离。

那么，如何推导这个公式呢？

首先，我们需要了解一些基本概念。椭圆有两个焦点，分别为F1和F2，这两个焦点距离为2c。椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。假设我们有一条弦AB，穿过椭圆的两个焦点F1和F2，且与椭圆长轴的夹角为θ。

接下来，我们可以利用一些几何知识来推导公式。

首先，我们知道椭圆的定义是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。因此，我们可以得到以下两个方程：

AF1 + BF1 = AF2 + BF2 = constant

其中，AF1表示点A到焦点F1的距离，BF1表示点B到焦点F1的距离。

接下来，我们可以将这两个方程表示为以下形式：

2AF1 = constant - 2BF1

2AF2 = constant - 2BF2

我们可以将这两个方程中的常数用椭圆长轴长度2a来表示，即：

2AF1 = 2a - 2BF1

2AF2 = 2a - 2BF2

接下来，我们可以利用三角函数的知识，将点A和点B的坐标表示为：

A(x1, y1) = (a cosθ, b sinθ)

B(x2, y2) = (a cos(θ + π), b sin(θ + π)) = (-a cosθ, -b sinθ)

我们可以计算出点A和点B之间的距离AB：

AB² = (x2 - x1)² + (y2 - y1)²

= (2a cosθ)² + (2b sinθ)²

= 4a² cos²θ + 4b² sin²θ

由于椭圆长轴长度为2a，我们可以将AB表示为椭圆长轴长度的一半，即：

AB = 2a√(cos²θ + b²/a² sin²θ)

接下来，我们需要计算焦点间的距离2c。根据勾股定理，我们可以得到：

2c² = (2a)² - (2b)²

= 4a² - 4b²

因此，我们可以得到：

2c = 2a√(1 - b²/a²)

最后，我们将AB表示为椭圆长轴长度的一半，并将2c表示为2a和b的函数，带入公式中，可以得到：

AB = 2a√(cos²θ + b²/a² sin²θ) = 2a√(1 - (1 - b²/a²)sin²θ)

= 2a√(1 - (2c/2a)² sin²θ)

= 2a√(1 - (c/a)² sin²θ)

这就是椭圆焦点弦长公式。可以看出，当θ等于0或π时，AB等于2a，这是椭圆长轴的长度。当θ等于π/2时，AB等于2b，这是椭圆短轴的长度。当θ等于焦点间连线与长轴的夹角时，AB等于2c，这是焦点间的距离。