柯西不等式是数学中的一条重要定理，可用于解决多种不等式问题，是线性代数的基础之一。柯西不等式有六个基本公式，下面将一一介绍。

第一个公式：向量内积的三角不等式

对于任意两个向量a和b，其内积的绝对值不大于二者的长度乘积，即|a·b| ≤ ||a|| × ||b||。

第二个公式：向量内积的柯西-施瓦茨不等式

对于任意两个向量a和b，其内积的绝对值不大于二者长度的积，即|a·b| ≤ ||a|| × ||b||。当且仅当a和b共线时取等。

第三个公式：向量的模长与坐标的柯西不等式

对于任意n个实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，其点积的绝对值不大于每个坐标的平方和的积的平方根，即|(a1b1 + a2b2 + … + anbn)| ≤ [(a1^2 + a2^2 + … + an^2) × (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)]^0.5。

第四个公式：矩阵的范数与内积的柯西不等式

对于任意两个矩阵A和B，其范数的内积的绝对值不大于二者的Frobenius范数的积，即|tr(AB*)| ≤ ||A||F × ||B||F。

第五个公式：数列的柯西不等式

对于任意两个数列a和b，其项积的和的绝对值不大于每个项的平方和的积的平方根，即|(a1b1 + a2b2 + … + anbn)| ≤ [(a1^2 + a2^2 + … + an^2) × (b1^2 + b2^2 + … + bn^2)]^0.5。

第六个公式：函数的柯西不等式

对于任意两个可积函数f和g，其积的积分的绝对值不大于每个函数的平方积分的积的平方根，即|∫f(x)g(x)dx| ≤ (∫f^2(x)dx × ∫g^2(x)dx)^0.5。

以上就是柯西不等式的六个基本公式，它们广泛应用于数学、物理、工程等领域，是一条十分重要的数学定理。